[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
게시글 주소: https://sex.orbi.kr/00039765358
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
14명 뽑는 과이고 아직 업뎃 안됐지만 이월되어서 17명 뽑을 예정인 과입니다...
-
이상한 꿈 1
사문 실모를 품 왜인지 채점을 안함 그렇게 10개가 쌓여있음 그러다 채점함 1페부터...
-
이거 붙습니까? 2
똑같은글 계속 올려서 죄송함미다ㅠㅠㅠㅠ 정시가 처음이라서 진정이 되질 않고 있으니...
-
기상 1
-
새로운 장소에 혼자 오니까 떨리네 설레기도하고
-
ㅇㅂㄱ 3
얼부기
-
8명 모집하는과 37명중 2등, 전체지원자 215명중 4등이고 진학사는 13등까지...
-
오르비 산화했네 0
새벽에 그리 놀더니 모두 죽어버렸구나...
-
부산경북 라인 하위과이고 5명 모집중입니다. 78명중 2등 유지하다가 78명중...
-
안뇽 0
굿모닝
-
아무렇지 않은것처럼
-
사탐을 하자니 설공을 포기하는 게 너무 커서...
-
600만원 투자 ㄱㄴ? 12
현역 노베->재수 평균 2등급 국영수탐 총합 9등급 정도 올렸고요 재수하며 장학...
-
슬슬 잘시간이네 3
근데 안 졸리고 안 피곤한데
-
ㅇㅂㄱ 0
3시간 잠요...
-
한 2년 전부터 새로 들어오는 여자쌤들 다 개이쁨
-
거부감이 들거든 인위적인 느낌
-
진학사 칸수 1
가나 66칸으로 쓰려했는데 크리스마스 이후가 젤 정확하다해서 지금 들어가보니까...
-
닉변완료 0
팀 06 ㅎㅇㅌ
-
계산이 어떻게 되는 건가요..? 3년동안의 전과목 계산했을 때 2점대 초반이였는데...
-
진학사 적정표본수 확보인데 모집 인원보다 최초합 인원이 훨씬 적은 건 왜 그런건가요?
-
나 왜 밤샘 2
아 자야겟ㅆ어요
-
아쉬운부분
-
연대 경영 정시로 뚫을라면 확통 사탐 기준 몇개 틀려야 하나요? 3
뷸수능 기준 영어 제외 1 가정하에 확통 정법 윤사로요
-
한성대 과 질문 1
상상력인재학부가 자유전공이고 It공과대학은 나중에 컴공등 공과대학 전공을 선택하는...
-
영어가 제일 들을지 말지 의문인데 전에 썼던 글 내용 사진으로 퍼온건데 평가원만...
-
귀찮아
-
언제까지나 과거에 머물러있을 수는 없다
-
이제 자야해 5
댄스 파티에 내가 빠질 순 없지
-
어제랑 어저께 새르비 3시간 하니까 갑자기 이상한 페이지 뜨면서 영어뜨던데요
-
서울대 0
안써주시면 안되나요 제가 가고 싶어요... 갈수록 상위표본이 늘어나네요~~ ?
-
개힘들다.
-
지금 쟈러갈게요 4
ㅃㅇ
-
전에 어떤 오르비언이 올렸던거같아서 저장해뒀다가 어제 봤는데 좋은 내용들이 생각보다...
-
가정불화 ㅜㅜ 4
갑자기 조금 힘들어서 써보네요 길게 쓰긴 힘들지만 저희.아버지가 가정폭력을...
-
선착순 10명 23
-
ㅁㅌ 1
ㅇㄱㅇㄹ
-
반수 생각하고 있어서 내년 예산 짜고있는데요 현역때도 인강만 들었고 내년도 독학...
-
내신 1.21이고 수능 23146 받았는데 특별 서류전형으로 시대 재종 넣으면...
-
우울 메타라서 나도 ㅇㅈ... 7년 영문과 다니면서 학점마녀랑 검머외들한테 치여서...
-
?? 5
?
-
기차지나간당 15
부지런행
-
인하대 차이 0
저거 둘이 다른게 뭔가요? 둘다 똑같은 자전인거 같은데
-
덕코좀 주세요 0
뉴릅이라 덕코 모으기 힘드네 기부좀
-
진학사 0
초대형과 4칸 극상위권 붙을 확률이 어느정돈가요
-
커넥션 풀면서 어떤 느낌인지 어렴풋이나마 체감하기는 함 특히 수2
-
위로는 그 사람이 진짜 최악의 상황에선 어느 정도 벗어났을 때 하는 거고 한참...
-
집에서 사이가 좀 장기적으로 많이 싸우기도 했고 안좋은데 심한 말도 많이 들었었고...
-
그런 놈이 여기를 왜 다시 기어들어와? @.@
-
더 ㅈ됐건데
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.